Question

（2004•天津）如图，已知两个等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O₁于点C，MD切⊙O₂于点D，若∠BCD=30°，则∠M等于    度．

Answer 1

【答案】分析：连接BD，O₁C，O₁B，O₂B，O₂D，根据切线的性质可以得到∠O₁CM=∠O₂DM=90°；由于圆O₁与圆O₂是等圆，而∠BCD=30°，由此可以推出∠CDB=∠BCD=30°；然后可以得到∠CBD=120°，BC=BD，再利用已知条件证明△O₁BC≌△O₂BD，由此得到∠O₁CB=∠O₂DB，进而得到∠O₁CM+∠O₂DM=∠BCM+∠BDM=180°，最后即可求出∠M的度数．
解答：解：如图，连接BD，O₁C，O₁B，O₂B，O₂D，
∵MC切⊙O₁于点C，MD切⊙O₂于点D，
∴∠O₁CM=∠O₂DM=90°；
∵⊙O₁与⊙O₂是等圆，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠BCD=30°，
∴∠CBD=120°，BC=BD，
∴△O₁BC≌△O₂BD，∠O₁CB=∠O₂DB，
∴∠O₁CM+∠O₂DM=∠BCM+∠BDM=180°，
∴∠M=180-∠CBD=60°．
点评：本题主要利用了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等角对等边，四边形的内角和等知识，有一定的综合性，对学生的分析问题的能力要求比较高．