Question

如图，在直角坐标系中，C点坐标为（0，3），A点在x轴上，=，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）过A、C两点，图象与x轴的另一交点为B，原点O关于BC的对称点恰好在直线AC上．
（1）求A点的坐标．
（2）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

解：（1）∵C点坐标为（0，3），A点在x轴上，=，
∴AO=4，
故A点坐标有两种情况，即A（4，0）或（-4，0）；

（2）如图1，由题意得出，∠OCA的角平分线与x轴的交点即为点B，
若点O在AC上的落点为D，
则BD⊥AC，且CD=CO=3，
∵CO=3，AO=4，
∴AC==5，
故AD=5-3=2，
∵∠BDA=90°，AB=4-BO=4-BD，
∴BD²+AD²=AB²，
∴BD²+2²=（4-BD）²，
解得：BD=，
则B点坐标为：（，0），
设经过A，B，C三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则，
解得：，
故经过A，B，C三点的抛物线解析式为y=x²-x+3，
同理如图2，可得出，当A′点坐标为（-4，0），B′点坐标为（-，0），抛物线解析式为：y=x²+x+3．
分析：（1）利用C点坐标为（0，3），=，即可得出AO=4，进而得出A点坐标即可；
（2）利用勾股定理首先得出AC的长，再利用原点O关于BC的对称点恰好在直线AC上设为D点，得出CD=3，进而求出AD，BD的长，即可求出抛物线解析式即可，注意A点坐标有两种情况．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及勾股定理等知识，注意根据点的对称性得出B点坐标是解题关键．