Question

10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？

Answer 1

分析：先设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），得出a₁、a₂的值，再根据得出a₄≥12，求出a₃，再根据a₁≤a_3^-1=12，求出a₄，最后根据a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀=90分别求出a₅、a₆的值．

解答：解：设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），依题意得：a₁＞a₂＞a₃＞…a₉＞a₁₀
a_{1≤^{1+2×（9-1）=17，}}
a_2≤a_1-1=16，
a_3⁺²⁰⁼a_1⁺a_2，
∴a_{3^{≤13 ①，}}
又后四名棋手相互之间要比赛

4×3

2

=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，
∴a₇+a₈+a₉+a_10≥12，
∴a_4^≥12
而a_3≥a_{4^{+1≥13，②
∴由①②得：}}a_3=13，
∴a₁+a_2=33，
∴a₁=17，a_2=16，
又∵a₁≤a_3-1=12，
∴a₄=12，
∵a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀⁼

10×9

2

_{×2=90，
∴17+16+13+12+}a₅+a₆+12=90，
而a₅+a₆≤a₅+a₅-1，
即：a_5≥10

1

2

_，
又a_5＜a4=12，
∴a₅=11，a₆=9，
故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．

点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．