Question

8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△OAB的顶点与原点重合，△OCD与△OAB关于x轴对称，点C的对称点是A，点D的对称点是B，AB交y轴于点M，CD交y轴于点N．
（1）作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，若∠BOF=27°，求∠EAO与∠AMO的度数；
（2）若点D的坐标为（2，-1），请直接写出点B、A的坐标；
（3）在（2）的条件下，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由角的互余关系容易得出结果；
（2）由对称的性质求出B的坐标，由AAS证明△AOE≌△OBF，得出对应边相等，即可得出结果；
（3）求出直线AB的解析式，得出OM的长，即可得出MN的长．

解答 解：（1）作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图所示，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=90°-27°=63°，
∴∠AOM=∠EAO=90°-∠AOE=27°；
∴∠AMO=180°-∠OAB-∠AOM=108°；
（2）∵△OCD与△OAB关于x轴对称，点D的坐标为（2，-1），
∴点B（2，1），
∴OF=2，FB=1，
由（1）得：∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFB=90°}&{\;}\\{∠AOE=∠OBF}&{\;}\\{OA=BO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF，OE=FB，
∴A（-1，2）；
（3）由对称的性质得：OM=ON，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{5}{3}$，
∴OM=ON=$\frac{5}{3}$，
∴MN=$\frac{10}{3}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、对称的性质、待定系数法求直线的解析式等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．