Question

我们已经学习了用“量角器”或“尺规作图”的方法画一个已知角的平分线，小明与小聪同学只利用“三角板”也能画出一个已知角的平分线，他们的画法如下，请你说明他们的画法是正确的理由．
（一）小明的画法如图（1）；
（1）利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD；
（2）连结CD，利用三角板画出CD的中点E；
（3）画射线OE；
∴射线OE就是∠AOB的平分线．
（二）小聪的画法如图（2）；
（1）利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD，OE=OF：
（2）连结CF、DE交于点G；
（3）画射线OG；
∴射线OG就是∠AOB的平分线．

Answer 1

分析：（1）本题考查的是有关作图的知识，由画法推出OD=OC，CE=DE，OE=OE证明△COE≌△DOE，从而推出OE是∠AOB的角平分线．
（2）通过△OCF≌△ODE（SAS），△OCF≌△ODE（AAS），△OCG≌△ODG（SSS）证得∠COG=∠DOG，即射线OG就是∠AOB的平分线．

解答：解：（1）如图1，∵在△COE与△DOE中，

OC=OD CE=DE OE=OE

，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE，
∴OE就是∠AOB的角平分线；

（2）如图2，∵在△OCF和△ODE中，

OC=OD ∠FOC=∠EOD OF=OE

，
∴△OCF≌△ODE（SAS），
∴∠OFC=∠OED．
又∵在△CGE和△DGF中，

∠CGE=∠DGF ∠OFC=∠OED CE=DF

，
∴△OCF≌△ODE（AAS），
∴CG=DG．
∵在△OCG和△ODG中，

OC=OD CG=DG OG=OG

，
∴△OCG≌△ODG（SSS），
∴∠COG=∠DOG，即射线OG就是∠AOB的平分线．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-基本作图．在证明两个三角形全等时，要充分利用两个三角形中的公共边、公共角以及对顶角．