Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF，与直线CD交于点G．
求证：（1）∠ACD=∠F；（2）AC²=AG•AF．

Answer 1

证明：（1）连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F，
∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC．
∴∠ACD=∠F．

（2）由（1）得出的∠ACD=∠F，
又∵∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC．
∴=．
∴AC²=AG•AF．
分析：（1）本题可构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证．
（2）本题实际求的是三角形ACG和AFC相似，已知了一个公共角，而（1）中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系．
点评：本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质等知识点．通过构建与所求相关的相等角是解题的关键．