Question

16．如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过两点（-1，0）和（0，-1），则化简代数式$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^2-4}$+$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+4}$=$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 把已知点的坐标代入可求得a=b+1，再由对称轴在y轴的右侧可求得b＜0，则可求得0＜a＜1，则可比较a和$\frac{1}{a}$的大小关系，化简可求得答案．

解答 解：
∵y=ax²+bx+c的图象经过两点（-1，0）和（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，整理可得a=b+1，
∵对称轴在y轴的右侧，抛物线开口向上，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，且a＞0，
∴b＜0，
∴0＜a＜1，
∴a＜$\frac{1}{a}$，
∴$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^2-4}$+$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+4}$=$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}}$+$\sqrt{（a+\frac{1}{a}）^{2}}$=$\frac{1}{a}$-a+a+$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{a}$，
故答案为：$\frac{2}{a}$．

点评 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．