Question

已知b、c是满足c＞b＞0的整数，方程x²-bx+c=0有两个不等的实根x₁和x₂，设P=x₁+x₂，Q=x₁²+x₂²，R=（x₁+1）（x₂+1），试比较P、Q、R的大小，并说明理由．

Answer 1

解：∵方程x²-bx+c=0有两个不等的实根x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-=b，x₁•x₂=c，b²-4c＞0，
∵P=x₁+x₂，
∴P=x₁+x₂=b，
∵Q=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=b²-2c，
∵R=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=b+c+1．
∵b、c是满足c＞b＞0的整数，
∵b²-4c＞0，
∴Q=b²-2c＞2c，
∴R=b+c+1≤2c，
∴Q＞R＞P，
分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出x₁+x₂=-=b，x₁•x₂=c，b²-4c＞0，从而得出Q，R，P的取值范围，即可比较出大小关系．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，根据题意综合应用根与系数关系得出Q，R的取值范围是解决问题的关键．