Question

“福龙丽景”的居民筹集资金650元，计划在楼前一块上底5m、下底10m的梯形（如图①）空地上种植花草，美化环境．
（1）试求△AED与△BEC的面积比；
（2）他们在△AED和△BEC地带上种康乃馨，单价为10元/m²，共花250元．若其余地带（△ABE和△DCE）可种兰花或茉莉花，单价分别为20元/m²、15元/m²，那么应选择种哪种花，刚好用完所筹集资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形（如图②），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，S_△APD=S_△BPC，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出△AED与△BEC相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；
（2）根据相似三角形对应高的比等于相似比求出点E到BC的距离等于到AD的距离的2倍，然后根据三角形的面积求出点E到BC、AD的高，利用梯形的面积列式求出△ABE和△DCE的面积之和，用剩余资金除以三角形的面积之和求出所种花的单价，即可得解；
（3）根据等腰梯形的轴对称性，点P在图形ABCD的对称轴上，再根据AD和BC的长度，点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍，然后确定出点P的位置即可．

解答：解：（1）∵梯形ABCD的边AD∥BC，
∴△AED∽△BEC，
∴△AED与△BEC的面积比=（AD：BC）²=（5：10）²=1：4；

（2）设△AED的边AD上的高为h，
∵△AED∽△BEC，
∴△BEC的边BC上的高为

10

5

h=2h，
∴

1

2

×5h+

1

2

×10×2h=250÷10，
解得h=2，
∴梯形的高为h+2h=2+2×2=6，
△ABE和△DCE的面积之和=

1

2

×（5+10）×6-250÷10=45-25=20m²，
∴所种花的单价=（650-250）÷20=20元/m²，
答：选择种兰花，刚好用完所筹集资金；

（3）∵△APB≌△DPC，
∴点P在对称轴上，
∵AD=5cm，BC=10cm，S_△APD=S_△BPC，
∴点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍，
点P的位置如图所示．

点评：本题考查了相似三角形的应用，等腰梯形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等腰梯形的对称性，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．