Question

在Rt△ABC中，∠＝90°，三角形的角平分线CE和高AD相交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G，求证：(1)AE＝BG．(2)若∠=30°,,求四边形的面积．

Answer 1

略解析:
证明：∵∠BAC=900
AD⊥BC
∴∠1=∠B
∵CE是角平分线
∴∠2＝∠3
∵∠5＝∠1+∠2
∠4＝∠3+∠B
∴∠4＝∠5
∴AE＝AF……………1分
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N
∴MN//AB
∵FG//BD
∴四边形GBDF为平行四边形
∴GB=FN……………2分
∵AD⊥BC,CE为角平分线
∴FD=FM
在Rt△AMF和RtNDF中

∴△AMF≌△NDF
∴AF＝FN
∴AE＝BG……………5分
(2)∵∠B＝300
AB//NF
∴∠8＝300
在Rt△FDN中，FN＝2FD＝10
∴AF＝AE＝BG＝FN＝10
∴∠BAD＝600
∴△AEF为等边△
∴EF＝AE＝10
∵GF//BC
∴∠EGB＝∠B＝300
∠4＝∠9+∠10＝600
∴∠9＝∠10＝300
EG＝EF＝10
在Rt△ABC中，tan300＝
∴AC＝10    ∠2＝300
在Rt△CDF中，tan∠＝
∴CD＝
S四EBDF＝S△ABC－S△AEC－S△CDF＝

……………10分