Question

如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．

Answer 1

分析：连接AE、BF得交点Q，AB为半圆的直径，可证点Q为垂心，得CQ⊥AB①，延长FP到点K，使PK=PF，连接EF、KE，利用角的关系证明K、F、Q、E四点共圆，证明P为圆心，从而有PQ=PF，再证A、H、Q、F四点共圆，得出∠PHA=∠AFB=90°，可证C、P、Q三点共线，证明结论．

解答：证明：如图，连接AE、BF得交点Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴点Q为△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延长FP到点K，使PK=PF，连接EF、KE．易知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
连接PQ并延长交AB于点H，
∵∠EQF=180°-∠AQF=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=

1

2

∠EPF=

1

2

（180°-2∠PEF）=90°-∠PEF，
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四点共圆，
∵PK=PE=PF，
∴P必是该圆的圆心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四点共圆．
则∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三点共线，
∴CP⊥AB．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．关键是明确三角形两边上高的交点为垂心，同时考查了三点共线的方法．