Question

如图，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：
①OA=OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k
④当AB=时，ON-BN=1；
其中结论正确的个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=-x+b与y=，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k；
④延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1；
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立，得x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正确；
④延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．
正确的结论有4个．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．