Question

（2013•安徽模拟）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．
（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．
（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S_△ABC与S_△ABD的和，S_△BCE与S_△ACF的和是否相等．

Answer 1

分析：（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以PB²=PA•PC，即PB=2

3

；
（2）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点即费马点；
要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．

解答：解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴

PA

PB

=

PB

PC

∴PB²=PA•PC=12，
∴PB=2

3

；


（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．

∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．
∵△ACB'为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB'=60°，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，
∴∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．

（3）如下图，
作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；

证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，

∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）
易证△AMC为等边三角形，
在△ABC与△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，
∴四边形DBEM是平行四边形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．

点评：此题考查了等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．