如图.矩形纸片ABCD中.AB=10cm.BC=8cm.E为BC上一点.将纸片沿AE翻折.使点E与CD边上的点F重合．(1)求线段EF的长,(2)若线段AF上有动点P.点P自点A沿AF方向向点F运动.过点P作PM∥EF.PM交AE于M.连接MF.设AP=x(cm).△PMF的面积为y(cm)2.求y与x的函数关系式,的条件下.△FME能否是等腰三角形?若能.求出AP的值.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2009•遵义）如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．
（1）求线段EF的长；
（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）²，求y与x的函数关系式；
（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．

【答案】分析：（1）根据折叠的性质知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE=EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长；
（2）由于PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此PM⊥AF；在（1）中已经求得AF、EF的长，易证得△APM∽△AFE，根据相似三角形所得比例线段即可求得PM的表达式；知道了Rt△PMF两条直角边的长，即可求出其面积，由此可得到关于y、x的函数关系式；
（3）在Rt△PMF中，根据PM、MF的表达式，即可由勾股定理求得MF的表达式；若△FME是等腰三角形，则可能有三种情况：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根据上述三种情况所得不同等量关系求出x的值．
解答：解：（1）根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF²=CF²+CE²，即EF²=4²+（8-EF）²，解得EF=5cm；

（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴

，即

，PM=

；
在Rt△PMF中，PM=

，PF=10-x；
则S_△PMF=

（10-x）•

x²+

x；（0＜x＜10）

（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=

；
同理可求得AE=

，AM=

x；
∴ME=5

x；
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF²=ME²，即：

x²-20x+100=（5

x）²，解得x=5；
②MF=EF，则MF²=EF²，即：

x²-20x+100=25，化简得：x²-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，则有：
5

x=5，解得x=10-2

；
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10-2

）cm时，△FME是等腰三角形．
点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在等腰三角形的腰和底不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．

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