Question

有一座抛物线形拱桥，桥的跨度为40米，桥面的最大高度为8米，将它的示意图放入如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现计划在桥面上铺台阶，台阶的高度均为0.2米，请计算从底部开始数的第31级台阶的水平宽度（结果精确到0.01）．
【参考数据：≈3.162】．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+c，
∵抛物线过（0，8）、（20，0），
根据题意代入，得
解得：
即得抛物线的解析式为y=-x²+8；
（2）设第30级台阶的高度为y₁，第30级台阶的高度为y₂，
由题意得：y₁=0.2×30=6m，
y₂=0.2×31=6.2m，
把y₁、y₂分别代入函数解析式得：，
解得：x₁=±10，x₂=±3，（负值舍去）
x₁-x₂=10-3=10-3×3.162≈0.51m
即从底部开始数的第31级台阶的水平宽度约为0.51米．
分析：（1）根据题意，抛物线的顶点坐标是（0，8），并且过（20，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式即可；
（2）分别计算出30级、31级台阶的高度y₁，y₂，代入函数解析式求出横坐标x₁，x₂，x₁-x₂即为31级台阶的水平宽度．
点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．