Question

（2012•本溪）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）在直角梯形的平移过程中，四边形MOHE可能构成矩形（如答图1所示），或菱形（如答图2所示）；本问有两种情形，需要分类求解，注意不要漏解，而且需要排除正方形的情形；
（3）本问亦有两种情形，需要分类求解．当直角梯形运动到△OAD内部的情形时，如答图3所示；当直角梯形运动到△OAD外部的情形时，如答图4所示．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得a=-1，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：
①四边形MOHE构成矩形的情形，如答图1所示：
此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．
由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．
过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，
∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴t=

5

3

；
②四边形MOHE构成正方形的情形．
由答图1可知，OH=OD-DN-HN=4-

4

3

-1=

5

3

，即OH≠MO，
所以此种情形不存在；
③四边形MOHE构成菱形的情形，如答图2所示：
过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．
设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；
∵FN∥y轴，∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1+x

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

（1+x）．
∴OR=OD-RN-DN=4-1-

4

3

（1+x）=

5

3

-

4

3

x．
若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，
在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR²+HR²=OH²，
即：（

5

3

-

4

3

x）²+x²=1²，解得x=

4

5

，
∴FN=1+x=

9

5

，DN=

4

3

（1+x）=

12

5

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

( 9 5 )2+( 12 5 )2

=3．
由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，
∴t=3．
综上所述，当t=

5

3

s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．

（3）当t=

35

12

s或t=

95

12

s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．
简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）
由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK∥AA′，且GK=AA′=2．
①当直角梯形位于△OAD内部时，如答图3所示：
过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．
由SG∥x轴，得

AS

OA

=

SG

OD

，求得AS=

9

4

，∴OS=OA-AS=

3

4

，
∴FN=FT+TN=FT+OS=

7

4

，易知DN=

4

3

FN=

7

3

，
在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=

35

12

；
②当直角梯形位于△OAD外部时，如答图4所示：
设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=

3

4

，OS=OA+AS=

15

4

．
过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=

19

4

．
在Rt△FGT中，FT=1，则TG=

4

3

，FG=

5

3

．
由TG∥x轴，∴

FT

FN

=

FG

DF

，解得DF=

95

12

．
由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=

35

12

s或t=

95

12

s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．

点评：本题是动线型二次函数综合题，图形复杂，涉及考点较多，难度很大．
（1）本题后两问均有两种情形，注意分类讨论思想的应用，避免丢解；
（2）读懂题意是解决第（2）问的先决条件．特殊平行四边形包括菱形、矩形和正方形．以此为基础，对直角梯形平移过程中的运动图形进行认真分析，探究在何种情形下可能构成上述的特殊平行四边形？
（3）对图形运动过程的分析与求解是解题的要点，也是难点．复杂的运动过程为解题增加了难度，注意分清各种运动过程中的图形形状；
（4）在图形计算求解过程中，既可以利用相似关系，也可以利用三角函数关系．同学们可探讨不同的解题方法．