Question

如图，四边形ABCD与四边形AEGF均为正方形，点E、F分别在AB、CD上．延长EG交CD于点M．连接BG、FM．
（1）请你确定BG与FM的关系，并说明你的理由；
（2）若点H在AB上，且BH=EA，连接MH，交BG于点P，求∠MPG的度数．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，CD∥AB，正方形AEGF中，EG∥AF，
∴EM∥AD．EM=AD．∵AB=AD，∴ME=AB．
∵EG=EA∴MG=BE，
∵∠FGM=∠GEB=90°，GE=GF，
∴△GMF≌△EBG．
∴BG=FM，∠FMG=∠GBE．
延长BG交MF于点N，则∠BGE=∠NGM，
∵∠BDG+∠GBE=90°，
∴∠GMN+∠NGM=90°．
∴∠MNG=90°，
∴BG⊥FM．

（2）连接FH，
∵AE=FG，AE∥FG，BH=EA，
∴FG∥BH，FG=BH．
∴四边形FHBG为平行四边形．
∴FH=GB，FH∥GB．
由（1）得，BG=FM，BG⊥FM．
∴∠MFH=90°．
∴△FHM为等腰三角形．
∴∠FHM=45°；
∵BG∥FH，
∴∠MPG=∠FHM=45°，
∴∠MPG=45°．
分析：（1）BG=FM，BG⊥FM，根据正方形的四边相等，四个角都是直角可求解．
（2）利用正方形的性质和第（1）问所得的结论可进行证明角的度数．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质．