Question

（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以

OB

OC

=

OA

OB

，可解得OC=

9

2

，则C点坐标为（-

9

2

，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=

2

ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND=

24

7

，所以OD=

24

7

，ON=

24 2

7

，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=

40

7

，则BN=10-

40

7

=

30

7

，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；

（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴

OB

OC

=

OA

OB

，即

6

OC

=

8

6

，解得OC=

9

2

，
∴C点坐标为（-

9

2

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（-

9

2

，0）分别代入

b=6 - 9 2 k+b=0

，
解得

k= 4 3 b=6

，
∴直线l的解析式为y=

4

3

x+6；

（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=

24

7

，
∴OD=

24

7

，ON=

2

ND=

24 2

7

，
∴N点坐标为（

24

7

，

24

7

）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即

24

7

：6=AN：10，解得AN=

40

7

，
∴BN=10-

40

7

=

30

7

，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即

30

7

：NE=

24 2

7

：

40

7

，解得NE=

25 2

7

，
∴OE=ON+NE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．