Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；
（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；
（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

Answer 1

解：（1）PQ=PB，
证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1）．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
∵AP=x，
∴AM=MP=NQ=DN=x，BM=PN=CN=1-x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x
∴S_△PBC=BC•BM=×1×（1-x）=-x，
S_△PCQ=CQ•PN=×（1-x）（1-x）=-x+x²，
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=x²-x+1，
即y=x²-x+1（0≤x）．

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3），
此时，QN=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x，
∴CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1，
当-x=x-1时，得x=1．
③BP⊥AC，Q点与C点重合，PQ=CP，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．
分析：（1）过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．
（2）设AP=x，故AM=MP=NQ=DN=x，由（1）的结论，可得CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x；
根据图形可得关系S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，代入数据可得解析式．
（3）分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．