Question

8．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上一点，且CE=AB，BE=CD，连结AE、DE、AD，则△ADE的形状是等腰直角三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点，连结BE、CD，两线交于点P．
①当BD=AC，CE=AD时，在图中补全图形，猜想∠BPD的度数并给予证明．
②当$\frac{BD}{AC}=\frac{CE}{AD}=\sqrt{3}$时，∠BPD的度数60°．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证明△ABE≌△ECD，得到AE=DE；证明∠AED=90°，即可解决问题；
（2）过B点作FB⊥AB，且FB=CE，证明△FBD≌△DAC．得到∠FDB=∠DCA，FD=DC，再进一步证明∠CDF=90°，所以∠FCD=∠CFD=45°．再证明四边形BECF是平行四边形，所以BE∥FC，所以∠BPD=∠FCD=45°．
（3）过B点作FB⊥AB，且FB=CE，证明△FBD∽△DAC，得到$\frac{DF}{DC}=\frac{BD}{AC}=\sqrt{3}$，∠FDB=∠DCA，再进一步证明∠CDF=90°，再证明四边形BECF是平行四边形，所以BE∥FC，所以∠BPD=∠FCD，即可解答．

解答 （1）解：在△ABE与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°
∴∠AED=180°-90°=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
（2）45°，
证明：过B点作FB⊥AB，且FB=CE，

∴∠FBD=∠A=90°，
∵CE=AD，
∴FB=AD，
在△FBD和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=AD}\\{∠FBD=∠A}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△DAC．
∴∠FDB=∠DCA，FD=DC
∵∠DCA+∠CDA=90°，
∴∠FDB+∠CDA=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠FCD=∠CFD=45°．
∵AD=CE，
∴BF=CE，
∵∠FBD=∠A=90°，
∴∠FBD+∠A=180°．
∴BF∥EC．
∴四边形BECF是平行四边形．
∴BE∥FC．
∴∠BPD=∠FCD=45°．
（3）如图，过B点作FB⊥AB，且FB=CE，

∴∠FBD=∠A=90°，
∵$\frac{BD}{AC}=\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{FB}{AD}$，
∴△FBD∽△DAC，
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{BD}{AC}=\sqrt{3}$，∠FDB=∠DCA，
∵∠DCA+∠CDA=90°，
∴∠FDB+∠CDA=90°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FBD=∠A=90°，
∴∠FBD+∠A=180°．
∴BF∥EC，
∵BF=EC，
∴四边形BECF是平行四边形．
∴BE∥FC．
∴∠BPD=∠FCD，
在Rt△FDC中，tan∠FCD=$\frac{DF}{CD}=\sqrt{3}$，
∴∠FCD=60°，
∴∠BPD=60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定以及平行四边形的性质和判定，解决本题的关键是解题的关键是作辅助线，将分散的条件集中．