Question

如图有一角Rt∠A．
（1）用尺规作图作出∠A的角平分线，并在该角平分线上取一点C．（保留作图痕迹，不写作法，不证明．）
（2）用尺规作图作出（1）中得到的线段AC的中垂线、分别交∠A的两边于点B和点D．（保留作图痕迹，不写作法，不证明．）
（3）连接CB，CD．以AC平分∠BAD、BD垂直平分线段AC，以及Rt∠A作为已知条件，试判断四边形ABCD是否为正方形，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）（2）如图所示；
（3）四边形ABCD是正方形，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴AB=BC，AD=CD，∠AOB=90°，
∵∠BAD=90°，AC平分∠A，
∴∠BAO=∠OAD=45°，
∴∠AB0=45°，∠OAD=45°，
∴OB=OA=OD，
∵∠AOB=90°，
∴AO垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴AB=AD=CB=CD，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
分析：（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB相交于点E、F，再以点E、F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线OM即可；
（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点画直线，分别交∠BAD的两边于点B和点D；
（3）首先根据线段垂直平分线的性质可得AB=BC，AD=CD，再证明AO垂直平分BD，可得AB=AD，进而可得到四边形ABCD的四条边相等，再有条件∠BAD=90°，可证出四边形ABCD是正方形．
点评：此题主要考查了作角平分线，作线段的垂直平分线，以及正方形的判定，解决问题的关键是正确作出图形，熟练运用正方形的判定定理．