Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，已知：∠B=∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，求sin∠BAC的值．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
可得∠OAC=60°，
又∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
所以AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴sin∠BAC=．
分析：（1）连接OA，由已知∠B=∠CAD=30°，所以得∠AOC=60°，继而可得∠OAC=60°，又∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，问题得证；
（2）由于OD⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，进而求出其正弦值．
点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定和30°角的正弦值．