Question

如图，在直角坐标系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=12，BC=16，点A在x轴上，点C在y轴上．
（1）写出点A、B、C及M的坐标；
（2）过点C作⊙M的切线交x轴于点P，求直线PC的解析式；
（3）如果E为PC上一动点（运动时不与P、C重合），过点E作直线EF交PA于点F．
①直线EF将四边形PABC的周长平分，设E点的纵坐标为t，△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；
②是否存在直线EF将四边形PABC的周长和面积同时平分？若能，请求出直线EF的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）矩形在坐标轴上，A、B、C三点的坐标可以写出，由中点坐标公式可以写出M点的坐标；
（2）连接CM．直线PC与圆相切，CM与PC垂直，两直线斜率之积为-1，求出PC的斜率，进而求出直线PC的解析式；
（3）①作EN⊥x轴于N．根据相似三角形的性质表示出PE、EN的长，再根据四边形的周长分成相等的两部分表示PF的长，从而表示三角形的面积；
②只需求得四边形的面积，令①中的解析式等于四边形的面积的一半进行分析求解．

解答：解：（1）A（16，0），B（16，12），C（0，12），M（8，6）．


（2）连接CM．
∵CM是圆半径，PC是切线，
∴PC⊥CM，
K_PC×K_CM=-1，
解得K_PC=

4

3

，
由点斜式写出解析式为y=

4

3

x+12．


（3）①作EN⊥x轴于N．
根据（2）中的直线解析式求得P（-9，0）．
则PC=15．
则四边形ABCP的周长是15+9+16+16+12=68．
又点E的纵坐标是t，
则PE=

5

4

t，
则PF=34-

5

4

t，
则S=

1

2

×t（34-

5

4

t）=-

5

8

t2+17t（7.2≤t≤16）．
②因为四边形ABCP的面积=

1

2

×（16+16+9）×12=246．
若把四边形的面积等分，则S=123．
有-

5

8

t2+17t=123，
此方程无实数根，
故不存在直线EF将四边形PABC的周长和面积同时平分．

点评：此题考查了切线的性质以及三角形的面积公式．