【题目】如图,中,,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为每秒1个单位长度,点N的运度为每秒2个单位长度当点M第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
点M、N运动几秒后,可得到等边三角形?
当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰?如存在,请求出此时M、N运动的时间.
【答案】(1)点M、N运动12秒后,M、N两点重合;(2)点M、N运动4秒后,可得到等边三角形;(3)当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形,此时M、N运动的时间为16秒.
【解析】
(1)根据路程差=12构建方程即可解决问题;
(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①中,根据AM=AN,构建方程即可解决问题;
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,如图②,假设△AMN是等腰三角形,根据CN=BN,构建方程即可解决问题.
设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
,
解得:;
点M、N运动12秒后,M、N两点重合.
设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形,如图
,,
三角形是等边三角形,
,
解得,
点M、N运动4秒后,可得到等边三角形.
当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图,假设是等腰三角形,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
在和中,
,
≌,
,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,是等腰三角形,
,,,
,
解得:故假设成立.
当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形,此时M、N运动的时间为16秒.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点,交AB于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G,作ED∥AC交CG于点D
(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;
(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.
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【题目】水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
车型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽车运载量(吨/辆) | 5 | 8 | 10 |
汽车运费(元/辆) | 400 | 500 | 600 |
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节约运费,市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是 .
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
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【题目】如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′,点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.π
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【题目】某校八年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试,考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级.为了了解电脑培训的效果,用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级,所绘制的统计图如图所示.试结合图示信息回答下列问题:
(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ,培训后考分的中位数所在的等级是 .
(2)这32名学生经过培训,考分等级“不合格” 的百分比由 下降到 .
(3)估计该校整个八年级中,培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名.
(4)你认为上述估计合理吗:理由是什么?
答: ,理由: .
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【题目】【探索新知】:如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)
(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ= ;(用含α的代数式表示出所有可能的结果)
【深入研究】:如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒.
(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”;
(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值.
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【题目】养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活非常有益某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间分钟进行了调查现把调查结果分为A,B,C,D四组,如下表所示;同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
组别 | 早锻炼时间 |
A | |
B | |
C | |
D |
请根据以上提供的信息,解答下列问题:
扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______;
补全频数分布直方图;
已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.
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