Question

已知：△ABC中，AB=2

10

，AC=4，BC=6

2

（1）如图1，点M为AC的中点，在线段BC上取点N，使△CMN与△ABC相似，求线段MN的长；
（2）如图2，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．

Answer 1

分析：（1）作MN∥AB交BC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠CMN₁=∠B利用相似可得MN的长；
（2）所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．

解答：解：
（1）如图：
①当N为BC中点，MN∥AB，
此时△CMN∽△CAB，
有

CM

CA

=

MN

AB

=

1

2

∵AB=2

10

，
∴MN=

10

；    
②当△CMN₁∽△CBA时，有∠CMN₁=∠B，
∴

CM

BC

=

MN1

AB

，
又∵BC=6

2

，
∴MN=

2 5

3

，
∴MN的长为

10

或

2 5

3

．
（2）8个，如图（答案不唯一）．

点评：主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及现在，解题的关键是注意相似作图及解答有多种情况．