Question

已知抛物线y=ax²-4ax+4a-2，其中a是常数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a＞

2

5

，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的解析式为y=ax²-4ax+4a-2，把其化为顶点式，从而求出抛物线的顶点坐标；
（2）由题意a＞

2

5

，根据公式法求出ax²-4ax+4a-2=0的根，再由题意抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），来确定a的值，从而求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）依题意，得a≠0，
∴y=ax²-4ax+4a-2=a（x²-4x+4）-2=a（x-2）²-2；
∴抛物线的顶点坐标为（2，-2）；（2分）

（2）∵抛物线与x轴交于整数点，
∴ax²-4ax+4a-2=0的根是整数，
∴x=

4a± 16a2-4a(4a-2)

2a

=2±

2a

a

是整数，
∵a＞0，x=2±

2 a

是整数；（3分）
∴

2

a

是整数的完全平方数．∵a＞

2

5

，
∴

2

a

＜5，（4分）
∴

2

a

取1，4，
当

2

a

=1时，a=2；当

2

a

=4时，a=

1

2

．
∴a的值为2或

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6或y=

1

2

x2-2x．（6分）

点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系及用公式法求出方程的根．