Question

设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：待定系数法

分析：根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．

解答：解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x-1）²+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则

a+k=2 9a+k=3

，
解得

a= 1 8 k= 15 8

，
所以，y=

1

8

（x-1）²+

15

8

=

1

8

x²-

1

4

x+2；
当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x-3）²+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则

9a+k=2 a+k=3

，
解得

a=- 1 8 k= 25 8

，
所以，y=-

1

8

（x-3）²+

25

8

=-

1

8

x²+

3

4

x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y=

1

8

x²-

1

4

x+2或y=-

1

8

x²+

3

4

x+2．
故答案为：y=

1

8

x²-

1

4

x+2或y=-

1

8

x²+

3

4

x+2．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．