Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．
（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的长．
（2）求证：AB=AF+CF．

Answer 1

分析：（1）过点E作EM⊥AD，则可得EM是梯形ABCD的中位线，在RT△AEN中，利用勾股定理可求出AE的长；
（2）可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．

解答：（1）解：

过点E作EN⊥AD，则EN∥AB，
∵点E是BC中点，
∴EN是梯形ABCD的中位线，
∴EN=

1

2

（CD+AB）=12，
在Rt△AEN中，AE=

EN2+AN2

=6

5

；

（2）证明：延长AE交DF的延长线于点M，

∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC BE=CE ∠B=∠MCE

，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+FC．

点评：本题主要考查了直角梯形、全等三角形的判定和性质及勾股定理的知识．解答第一问的关键是过点E作AD的垂线，以便构造直角三角形；解答第二问的关键是作辅助线判断出△ABE≌△MCE．