Question

14．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AD⊥BC．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．

解答 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法熟记解题的关键．