Question

有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积关系求出AB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长；
（2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长．

解答：解：（1）因为△ABC为直角三角形，边长分别为3cm和4cm，则AB=

32+42

=5．
作AB边上的高CH，交DG于点Q．
于是

5CH

2

=

3×4

2

，
故CH=

12

5

cm．
易得：△DCG∽△ACB，
故：

CQ

CH

=

DG

AB

．
设正方形DEFG的边长为xcm，
得：

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得：x=

60

37

．

（2）令AC=3cm，设正方形边长为ycm．
易得：△ADE∽△ACB，
于是：

AD

AC

=

DE

CB

，

3-y

3

=

y

4

，
解得：y=

12

7

．
∵

60

37

＜

12

7

，
∴第二种情形下正方形的面积大．

点评：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；
（2）可根据△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA来解答．