Question

如图，四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，BR交AC、CD于点P、Q．若AD=，AB=AC=2．
求：BP、PQ的长．

Answer 1

解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE=，AB=DC=DE=AC=2，
∴BE=DE=2．
又∵R是DE的中点，
∴ER=DE=，
在△BER和△DEC中，
∵，
∴△BER≌△DEC（SAS），
∴BR=DC=2．
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=RP=BR=．
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
==，
∴QR=2PQ．
∴PQ=PR=；
综上所述，BP=．PQ=．
分析：由平行四边形的性质推知△BER≌△DEC（SAS），根据全等三角形对应边相等证得BR=DC=2；然后由三角形中位线的判定证得PC是△BER的中位线，从而求得BP=BR=．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．