如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故抛物线为y=-x²+2x+3；
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3），
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故直线AC为y=x+1；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
当x=1时，y=x+1=2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
∵F在抛物线上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x= $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ= $\text{[math]}$ PQ•AG
= $\text{[math]}$ （-x²+x+2）×3
=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴面积的最大值为 $\text{[math]}$ ；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC= $\text{[math]}$ （x+1）（-x²+2x+3）+ $\text{[math]}$ （-x²+2x+3+3）（2-x）- $\text{[math]}$ ×3×3
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3
=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴△APC的面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（3）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S_△APC=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC═- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，有一定难度．解答（2）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

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（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
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（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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