已知一次函数的图象分别交x轴.y轴于A.B两点.且与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4.n).CD⊥x轴于D．(1)求m.n的值.并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象,(2)如果点P.Q分别从A.C两点同时出发.以相同的速度沿线段AD.CA向D.A运动.设AP=k．①k为何值时.以A.P.Q为顶点的三角形与△AOB相似?②k为何值时.△APQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2002•泰州）已知一次函数

的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数

的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；
（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动，设AP=k．
①k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
②k为何值时，△APQ的面积取得最大值并求出这个最大值．

【答案】分析：（1）首先根据反比例函数的解析式求得n的值，再根据点C的坐标求得m的值．根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象；
（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则∠APQ=90°或∠AQP=90°．根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解；②首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出AP边上的高，再进一步表示三角形的面积，根据函数解析式分析其最值．
解答：

解：（1）把（4，n）代入反比例函数

，得：n=6
把（4，6）代入一次函数y=

x+m，得：m=3
∴y=

x+3．
令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4．（如图）

（2）①根据题意，得AP=CQ=k，根据勾股定理，得AC=10，则AQ=10-k
当∠APQ=90°时，则有

，即

，k=

；
当∠AQP=90°时，则有

，即

，k=

．

②作QM⊥x轴于M，则△AQM∽△ACD，
则有

，即

，QM=

．
则S_△APQ=

×k=-

k²+3k
所以当k=5时，则该三角形的面积的最大值是7.5．
点评：能够根据函数的解析式求得点的坐标，能够根据点的坐标求得函数的解析式；熟练运用相似三角形的判定和性质．

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（4）是否存在这样的直线，满足以下条件：①平行于x轴，②与（3）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（3）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点？若存在，求出这个等边三角形的面积；若不存在，请说明理由．