Question

15、如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．

Answer 1

分析：作出辅助线BM，AM，FH，把求∠HAF的度数转化为求其全等三角形的对应角∠MAF的度数．

解答：解：如图，连FH，延长CB到M，使BM=DH，连接AM，
∵Rt△ABM≌Rt△ADH，
∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
如图设正方形边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a-n，CH=a-m，
因为面积是二倍所以列式得到：a ²-（m+n）a+mn=2mn，
在直角三角形FCH中FH²=（a-n）²+（a-m）²，将上面的式子联立得到：
FH²=MF²=（m+n）²，即得到FH=MF，
∵AF=AF，AH=AM，
∴△AMF≌△AHF，
∴∠MAF=∠HAF，
∴∠HAF=∠MAF=45°．

点评：本题考查的全等三角形的证明，考查了正方形对边平行且各内角均为90°的性质，构建△DAH的全等三角形△BAM并进行求证是解本题的关键．