Question

如图，已知⊙O₁，经过⊙O₂的圆心O₂，且与⊙O₂相交于A，B两点，点C为弧AO₂B上的一动点（不运动至A，B），连接AC，并延长交⊙O₂于点P，连接BP，BC．
（1）先按题意将图1补完整，然后操作，观察．图1供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺．当点C在弧AO₂B上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；
（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想（图2供证明用）；
（3）如图3，当PA经过点O₂时，AB=4，BP交⊙O₁于D，且PB，DB的长是方程x²+kx+10=0的两个根，求⊙O₁的半径．

Answer 1

分析：（1）用圆周角定理判断，同弧所对的圆周角相等；
（2）用圆周角、圆心角定理及三角形外角的性质判断；
（3）连接AD，作O₂E⊥BP于E，运用两根关系，割线定理得出2PO₂²=PB²-10，由垂径定理，勾股定理得出4PO₂²=PB²+16，可求PB；又PB•BD=10，可求BD；在△ABD中，由勾股定理可求AD，半径可得．

解答：解：（1）∠ACB，∠BCP，∠P，∠CBP的大小没有变化；
∵在⊙O₁中，∠ACB是AB弧所对的圆周角，当点C运动时，大小不变；
∴在⊙O₂中，∠P是AB弧所对的圆周角，当点C运动时，∠P大小不变；

（2）△BCP是等腰三角形；
理由：连接AO₂，
∴∠ACB=∠AO₂B，
∵在⊙O₂中，∠AO₂B=2∠P，即∠ACB=2∠P；
又∵∠ACB=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠PBC，
∴△BCP是等腰三角形；

（3）连接AD；
∵AP为⊙O₂的直径，
∴∠ABP=90°，
∴AD为⊙O₁的直径；
作O₂E⊥BP于E，
∴O₂E为△ABP的中位线，O₂E=

1

2

AB=2，
∴由割线定理得：PO₂•PA=PD•PB，2PO₂²=（PB-BD）•PB；
∵PB•BD=10，
∴2PO₂²=PB²-10，
在△O₂EP中，由勾股定理得PO₂²=（

1

2

PB）²+O₂E²即：4PO₂²=PB²+16，
∴PB=6又PB•BD=10，
∴BD=

5

3

；
在△ABD中，由勾股定理得：AD=

AB2+BD2

=

13

3

，
∴⊙O₁半径是AO₁=

13

6

．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，割线定理，勾股定理及两根关系的运用，具有较强综合性．