Question

（2004•遂宁）某校组织学生到涪江河某段测量两岸的距离，采用了两种方案收集数据．
方案一：如图，从C点找准对岸一参照点D，使CD垂直于河岸线l，沿河岸行走至E点，测出CE的长度后，再用电子测角器测出CE与ED的夹角α；
方案二：如图，先从河岸上选一点A，测出A到河面的距离h．再用电子测角器测出A点到对岸河面的俯角β．

（1）学生们选用不同的位置测量后得出以下数据，请通过计算填写下表：（精确到0.1米）
方案一：

测量次数	1	2	3
EC（单位：米）	100	150	200
α	76°33′	71°35′	65°25′
计算得出河宽 （单位：米）

方案二：

测量次数	1	2	3
EC（单位：米）	14.4	13.8	12.5
β	1°24′	2°16′	1°56′
计算得出河宽 （单位：米）

（参考数据：tan1°24′=0.0244、tan2°16′=0.0396、tan1°56′=0.0338、tan76°33′=4.1814、tan71°35′=3.0032、tan65°25′=2.1859）
（2）由（1）表中数据计算：
方案一中河两岸平均宽为______米；
方案二中河两岸平均宽为______米；
（3）判断河两岸宽大约为______米；（从下面三个答案中选取，填入序号）
①390～420        ②420～450         ③350～480
（4）求出方案一的方差S₁²和方案二的方差S₂²，判断用哪种方案测量的误差较小．（精确到1）

Answer 1

【答案】分析：（1）方案一的直角三角形CDE中，CD=tanα•CE，代入α和CE的值可求得方案一中河宽，方案二的直角三角形中河宽=h÷tanβ，代入β和h的值可求得方案二中河宽；
（2）利用求平均数公式可计算方案一和方案二中的河两岸平均宽度；
（3）根据（2）中计算的平均宽度可判断河两岸宽大约为420～450；
（4）由（2）知两种方案的平均数，利用方差公式可求出方案一的方差S₁²和方案二的方差S₂²．再利用方差进行比较，可判断用哪种方案测量的误差较小．
解答：解：（1）方案一：在Rt△CDE中，CD₁=100tan76°33′=418.1米，
CD₂=150tan71°35′=450.5米，CD₃=200tan65°25′=437.2米．
方案一：

测量次数	1	1	3
EC（单位：米）	100	150	200
α	76°33′	71°35′	65°25′
计算得出河宽 （单位：米）	418.1	450.5	437.2

方案二：河宽=h÷tanβ，分别代入表格中的数据得，河宽1=14.4÷tan1°24′=590.2米，
河宽2=13.8÷tan2°16′=348.5米，河宽3=12.5÷tan1°56′=369.8米；
方案二：

测量次数	1	2	3
EC（单位：米）	14.4	13.8	12.5
β	1°24′	2°16′	1°56′
计算得出河宽 （单位：米）	590.2	348.5	369.8

（2）方案一中河两岸平均宽度=（481.1+450.5+437.2）÷3=435.3，
方案二中河两岸平均宽度=（590.2+348.5+369.8）÷3=436.2；

（3）由（2）的结果知河两岸宽大约为420～450；

（4）S₁²=[（418.1-435.3）²+（450.5-435.3）²+（4.7.2-435.3）²]=177，
S₂²=[（590.2-436.2）²+（348.5-436.2）²+（369.8-436.2）²]=11939
所以，S₁²＜S₂²，采用第一种方案误差较小．
点评：运用三角函数解直角三角形，再运用平均数和方差的公式分别求出两种方案中的平均数和方差，进行比较，得出结论．考查范围比较广．