Question

17．△ADE中，AE=AD且∠EAD=90°．

（1）如图1，若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC，请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，线段CD与BE相交于点O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，利用“ASA”证明△AEC≌△ADB即可得出结论；
（2）由旋转的性质可证△AEB≌△ADC，从而可得BE=CD，再利用角的相等关系，互余关系证明BE⊥CD．

解答 解：（1）AB=AC．理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AED，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADE，
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADB，
∴AB=AC；

（2）BE=CD且BE⊥CD．理由如下：
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴EB=CD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°，
∴∠DOE=90°，
∴BE⊥CD．

点评 本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质；解决问题的关键是运用角的相等关系，线段的相等关系将问题进行转化．