Question

（2007•资阳）如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：BP=DP；
（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；
（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；
（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．
解答：（1）证明：
证法一：在△ABP与△ADP中，
∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP．（2分）
证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）

（2）解：不是总成立．（3分）
当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）
说明：未用举反例的方法说理的不得分．

（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，
，
在图1中，由正方形ABCD可证：
AC平分∠BCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE=PF，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为正方形．（7分）
∴CE=CF，
∵∠DCF=∠BCE，
BC=CD，
∴△BEC≌△DFC，
∴BE=DF．（8分）
点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．