Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点M（-2，

3

），顶点坐标为N（-1，

4 3

3

），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）先由抛物线的顶点坐标为N（-1，

4 3

3

），可设其解析式为y=a（x+1）²+

4 3

3

，再将M（-2，

3

）代入，得

3

=a（-2+1）²+

4 3

3

，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC=

OB2+OC2

=2

3

．设P（-1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（-3，0），C（0，

3

），根据中点坐标公式求出B′（3，2

3

），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=

3

5

x+

7 3

5

，直线AC的解析式为y=-

3

x+

3

，然后解方程组

y= 3 5 x+ 7 3 5 y=- 3 x+ 3

，即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）由抛物线顶点坐标为N（-1，

4 3

3

），可设其解析式为y=a（x+1）²+

4 3

3

，
将M（-2，

3

）代入，得

3

=a（-2+1）²+

4 3

3

，
解得a=-

3

3

，
故所求抛物线的解析式为y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（2）∵y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

，
∴x=0时，y=

3

，
∴C（0，

3

）．
y=0时，-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=0，
解得x=1或x=-3，
∴A（1，0），B（-3，0），
∴BC=

OB2+OC2

=2

3

．
设P（-1，m），
当CP=CB时，有CP=

1+(m- 3 )2

=2

3

，解得m=

3

±

11

；
当BP=BC时，有BP=

(-1+3)2+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
当PB=PC时，

(-1+3)2+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得m=0，
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（-1，

3

+

11

），（-1，

3

-

11

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）；

（3）由（2）知BC=2

3

，AC=2，AB=4，
所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
所以此时△QBM的周长最小．
由B（-3，0），C（0，

3

），易得B′（3，2

3

）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（-2，

3

），B′（3，2

3

）代入，
得

-2k+n= 3 3k+n=2 3

，解得

k= 3 5 n= 7 3 5

，
即直线MB′的解析式为y=

3

5

x+

7 3

5

．
同理可求得直线AC的解析式为y=-

3

x+

3

．
由

y= 3 5 x+ 7 3 5 y=- 3 x+ 3

，解得

x=- 1 3 y= 4 3 3

，即Q（-

1

3

，

4 3

3

）．
所以在直线AC上存在一点Q（-

1

3

，

4 3

3

），使△QBM的周长最小．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．