Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．
（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=

60

°；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=

1

3

S△ABC时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．

Answer 1

分析：（1）有旋转可得出∠α；
（2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；
（3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，得出直线A′C与⊙E相交．

解答：解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；

（2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；
②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．
证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．
∵DE∥A′B′，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

．
由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

．
∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．
与①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，S△ABC=

3

2

．
由△CAD∽△CBE得

AD

AC

=

BE

BC

．
∵AD=x，
∴

x

3

=

BE

1

，BE=

3

3

x．
①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此时，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(2-x)×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
当S=

1

3

S△ABC时，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）

∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相切．
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如图2）.S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(x-2)×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
当S=

1

3

S△ABC时，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得x1=1+

2

，x2=1-

2

（负值，舍去）．
即AD=1+

2

．
此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．
∴直线A′C与⊙E相交．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．