Question

通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=

底边

腰

=

BC

AB

．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=

1

；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是

0＜sadA＜2

；
（3）如图，已知cosA=

4

5

，其中∠A为锐角，试求sanA的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）过B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，根据余弦函数的定义设AD=4k，AB=5k，由勾股定理求出BD=3k，则DC=k，然后在Rt△BDC中，求出BC=

10

k，最后根据正对的定义即可求解．

解答：解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=

1

1

=1．
故答案为：1．

（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．

（3）如图，过B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，cosA=

AD

AB

=

4

5

．
设AD=4k，AB=5k，则BD=3k，
∴DC=5k-4k=k．
在Rt△BDC中，BC=

BD2+CD2

=

10

k，
∴sadA=

BC

AB

=

10

5

．

点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．