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    如图，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

    (1)猜想：ME与MF的数量关系

    (2)如图，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M＝∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明．

    (3)如图，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB∶BC＝1∶2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．

    (4)如图，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M＝∠B，AB∶BC＝m，其它条件不变，求出ME：MF的值．(直接写出答案)

    答案：
    解析：

    　　解：(1)ME＝MF　1分

    　　(2)ME＝MF．　2分

    　　证明：过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，连结AM．

    　　∵M是菱形ABCD的对称中心，∴O是菱形ABCD对角线的交点，

    　　∴AM平分∠BAD，∴MH＝MG

    　　∵∠M＝∠B，∴∠M＋∠BAD＝180°，又∠MHA＝∠MGF＝90°，

    　　∴∠HMG＋∠BAD＝180°．∴∠EMF＝∠HMG，

    　　∴∠EMH＝∠FMG．∵∠MHE＝∠MGF，

    　　∴△MHE≌△MGF，∴ME＝MF．　4分

    　　(3)ME∶MF＝1∶2．　5分

    　　证明：过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，

    　　∵∠M＝∠B，∴∠A＝∠EMF＝90°，又∵∠MHA＝∠MGA＝90°，

    　　∴∠HMG＝90°．∴∠EMF＝∠HMG，∴∠EMH＝∠FMG．

    　　∵∠MHE＝∠MGF，∴△MHE∽△MGF

    　　∴．　6分

    　　又∵M是矩形ABCD的对称中心，

    　　∴O是矩形ABCD对角线的中点，

    　　又∵MG⊥AB，∴MG∥BC，∴

    　　同理可得，∴ME∶MF＝1∶2．　7分

    　　(4)ME∶MF＝m　8分


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    		2
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    cm2．

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    16
    ．

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