Question

20．已知函数y=（m+$\frac{1}{4}$）x²+（2m-1）x-3，求证：不论m为何值，该函数图象与x轴必有交点．

Answer 1

分析 当m+$\frac{1}{4}$=0，即m=-$\frac{1}{4}$时，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数与x轴的交点坐标；当m+$\frac{1}{4}$≠0，即m≠-$\frac{1}{4}$时，根据二次函数的系数结合根的判别式可得出△=4（m+1）²≥0，由此可得出函数y=（m+$\frac{1}{4}$）x²+（2m-1）x-3的图象与x轴至少有一个交点．综上即可证出结论．

解答 证明：当m+$\frac{1}{4}$=0，即m=-$\frac{1}{4}$时，原函数为一次函数y=-$\frac{3}{2}$x-3，
令y=-$\frac{3}{2}$x-3=0，解得：x=-2，
∴当m=-$\frac{1}{4}$时，函数y=（m+$\frac{1}{4}$）x²+（2m-1）x-3与x轴的交点坐标为（-2，0）；
当m+$\frac{1}{4}$≠0，即m≠-$\frac{1}{4}$时，该函数为二次函数，
∵△=（2m-1）²-4×（m+$\frac{1}{4}$）×（-3）=4m²+8m+4=4（m+1）²≥0，
∴函数y=（m+$\frac{1}{4}$）x²+（2m-1）x-3的图象与x轴至少有一个交点．
综上所述：不论m为何值，该函数图象与x轴必有交点．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，分该函数为一次函数和二次函数两种情况，寻找函数图象与x轴的交点个数是解题的关键．