Question

如图，顶点为D的抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知tan∠ABC=1．
（1）求点B的坐标及抛物线y=x²+bx-3的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A，B，C的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）欲求点B的坐标，由tan∠ABC=1，知OB=OC，只需知道C点的坐标，根据抛物线的解析式知C（0，-3），从而可求点B的坐标．把点B的坐标代入y=x²+bx-3，求出b的值．
（2）CD的长一定，可找C点关于x轴的对应点C′，则有CP=C′P，CP+PD最短，即D、P、C′三点一线，根据平行线的性质得出△CDP的周长最小的点P的坐标；
（3）当E在第一象限或第二象限时，四边形ABCE的面积=S_△ABC+S_△AEB；当E在第三象限，四边形ABCE的面积=S_△BOC+S_△AOE+S_△COE；当E在第四象限，四边形ABCE的面积=S_△AOC+S_△OCE+S_△BOE，分别得出S与x之间的函数关系式及取值范围．

解答：解：（1）∵tan∠ABC=1，
∴OC：OB=1，
∴OB=OC=3，
∴B（3，0），
把B（3，0）代入y=x²+bx-3，得9+3b-3=0，b=-2，
∴y=x²-2x-3；

（2）P（

3

7

，0），
顶点横坐标=2÷（2×1）=1，
纵坐标=[4×1×（-3）-（-2）×（-2）]÷4×1=-4，
D（1，-4）
∵△CED∽△C′OP，
∴

C′O

C′E

=

AP

ED

，
∴

3

7

=

OP

1

，
∴P（

3

7

，0）．

（3）当E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6（0＜x＜3），
当E在第三象限，S=-

1

2

x²-

1

2

x+6（-1＜x＜0），
当E在第一象限或第二象限，S=2x²-4x（x＜-1或x＞3）．

点评：本题考查了三角函数的知识，及代入法求二次函数，同时考查了图形的周长和面积的计算，注意某个图形无法解答时，常常利用图形间的“和差“关系求解．