Question

1．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+m（m＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形ANCD，点A在x轴上．双曲线y=$-\frac{6}{x}$经过点B，与直线CD交于点E，则点E的坐标为（　　）

• A． （$\frac{15}{4}$，-$\frac{8}{5}$）
• B． （4，-$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{9}{2}$，-$\frac{4}{3}$）
• D． （6，-1）

Answer 1

分析 根据一次函数图象是点的坐标特征求得D（0，m），C（2m，0），然后根据垂线的性质求得A（-$\frac{1}{2}$m，0），进而根据三角形全等求得B（$\frac{3}{2}$m，-m），代入y=$-\frac{6}{x}$求得m的值，得出直线y=-$\frac{1}{2}$x+2，最后联立方程，解方程即可求得．

解答 解：根据题意，直线y=-$\frac{1}{2}$x+m与x轴交于C，与y轴交于D，
分别令x=0，y=0，
得y=m，x=2m，
即D（0，m），C（2m，0），
又AD⊥DC且过点D，
所以直线AD所在函数解析式为：y=2x+m，
令y=0，得x=-$\frac{1}{2}$m，
即A（-$\frac{1}{2}$m，0），
作BH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAO=∠BCH，
在△AOD和△CHB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠BCH}\\{∠AOD=∠CHB=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△CHB（AAS），
∴BH=OD=m，CH=OA=$\frac{1}{2}$m，
∴OH=$\frac{3}{2}$m，
∴B点的坐标为B（$\frac{3}{2}$m，-m）
又B在双曲线双曲线y=$-\frac{6}{x}$（k＜0）上，
∴$\frac{3}{2}$m•（-m）=-6，
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
故点E的坐标为（6，-1），
故选D．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了三角形全等的判定与性质．