Question

小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（　　）

• A、

  1

  1024

• B、

  1704

  1024

• C、

  1705

  1024

• D、2

Answer 1

分析：易得第1层到水平线的距离为1，第2层到水平线的距离为1+

1

22

，第3层到水平线的距离为第4层到水平线的距离为1+

1

22

+

1

22

+

1

24

，第5层到水平线的距离为1+

1

22

+

1

22

+

1

24

+

1

24

，…进而得到第10层到水平线的距离，计算即可．

解答：解：设树形图第n层增加的高度为a_n，则an=

1 2n-1 (n为奇数时) 1 2n (n为偶数时).

，
树形图第10层的最高点到水平线的距离为

a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10

，
=1+

1

4

+

1

4

+

1

16

+

1

16

+

1

64

+

1

64

+

1

256

+

1

256

+

1

1024

，
=

1705

1024

．
故选C．

点评：考查图形的变化规律，得到每层相对于前面一层增加的高度是解决本题的关键．