Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE⊥AB于点E，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则四边形ABCD的面积为________．

Answer 1

15
分析：延长BA与CD，两延长线交于点F，由CE垂直于BF，得到一对直角相等，由CE为角平分线得到一对角相等，再由CE为公共边，利用ASA可得出三角形CFE与三角形CFB全等，由全等三角形的对应边相等得到CF=CB，且BE=EF，由BE=2AE，得到EF=2AE，即A为EF的中点，由等腰三角形的两底角相等得到一对角相等，再由两直线平行得到一对同位角相等，等量代换并利用等角对等边得到三角形AFD为等腰三角形，且三角形AFD与三角形BFC相似，相似比为1：4，可得出面积之比为1：16，设三角形AFD的面积为x，则三角形BFC的面积为16x，可得出三角形EFC的面积为8x，再由四边形AECD的面积为7，由四边形AECD的面积+三角形AFD的面积等于三角形EFC的面积列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出三角形AFD与三角形BFC的面积，用三角形BFC的面积减去三角形AFD的面积，即可求出四边形ABCD的面积．
解答：解：延长BA，延长CD，两延长线交于点F，如图所示：
∵CE⊥BF，
∴∠CEF=∠CEB=90°，
∵CE为∠BCD的平分线，
∴∠FCE=∠BCE，
在△FCE和△BCE中，
，
∴△FCE≌△BCE（ASA），
∴CF=CB，BE=FE，
∴∠F=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠F=∠FAD，
∴△AFD为等腰三角形，
又BE=2AE，
∴EF=2AE，即A为EF的中点，
∴△AFD∽△BFC，且相似比为1：4，
∴S_△AFD：S_△BFC=1：16，
设S_△AFD=x，则S_△BFC=16x，即S_△EFC=8x，
由四边形AECD的面积为7，得到S_△EFC=x+7，
∴8x=x+7，
解得：x=1，
∴S_△AFD=1，S_△BFC=16，
则四边形ABCD的面积S=S_△BFC-S_△AFD=15．
故答案为：15
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．