Question

4．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，与AC交于点F．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为3，CF=1，求cos∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用等腰三角形的性质得∠C=∠ABC，∠ODB=∠ABC，则∠ODB=∠C，于是可判断OD∥AC，再根据切线的性质得OD⊥EF，所以EF⊥AC；
（2）先得到AC=AB=6，则AF=5，再证明△EDO∽△EFA，利用相似比得到OE=$\frac{9}{2}$，则AE=$\frac{15}{2}$，然后在Rt△AFE中利用余弦的定义求解．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵⊙O的半径为3，
∴AC=AB=6，
∵CF=1，
∴AF=5，
∵OD∥AC，
∴△EDO∽△EFA，
∴$\frac{OD}{AF}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{OE}{OE+3}$，
∴OE=$\frac{9}{2}$，
∴AE=3+$\frac{9}{2}$=$\frac{15}{2}$，
在Rt△AFE中，cos∠A=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{5}{\frac{15}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即cos∠CAB的值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义．