Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EBC=∠D=60°．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BC=6时，求劣弧BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠A与∠D都对，
∴∠A=∠D，
∵∠EBC=∠D=60°，
∴∠A=60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠EBC+∠ABC=90°，
则BE为圆O的切线；

（2）解：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
在Rt△ABC中，BC=6，∠ABC=30°，
∴AB==4，即圆的半径为2，
则劣弧BC的长为=π．
分析：（1）由同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠D，由∠D度数求出∠A度数，再由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，进而求出∠ABC的度数，由∠EBC+∠ABC为90度，确定出EB垂直于AB，即可得证；
（2）连接OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出∠BOC的度数，再直角三角形ABC中，利用锐角三角形函数定义，根据BC求出AB，进而求出圆的半径，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．
点评：此题考查了切线的判定，弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．