如图.四边形ABCD是正方形.点G是直线BC上的任意一点.DE⊥AG于点E.BF∥DE.交AG于F．(1)当点G在线段BC上时.如图1.求证:DE-BF=EF,(2)当点G在线段CB的延长线上时.如图2.线段DE.BF.EF之间的数量关系是DE+BF=EFDE+BF=EF,的条件下.连接AC.过F作FP∥GC.交AC于点P.连接DP.若∠ADE=30°.GB=433.求DP的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．
（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF；
（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是

DE+BF=EF

；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB=

，求DP的长．

分析：（1）先根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，由同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，再利用“角角边”证明△ABF≌△DAE，然后根据全等三角形对应边相等得出BF=AE，AF=DE，最后根据线段的和差关系即可得证；
（2）方法同（1）还是证明△ABF≌△DAE，得出DE=AF，BF=AE，然后结合图形可得出结论DE+BF=EF；
（3）先解直角△ABG，求出AB=4，AG=

，解直角△ABF，得出AF=2

，再由FP∥GC，根据平行线分线段成比例定理得到

，求出AP=3

，然后在△APD中运用余弦定理即可求出DP的长．

解答：（1）证明：∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠AFB=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE

∠AFB=∠DEA=90°

AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是DE+BF=EF．理由如下：
∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DAE+∠ADE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE

∠AFB=∠DEA=90°

AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE+BF=AF+AE=EF．
故答案为DE+BF=EF；

（3）解：∵AD∥GC，
∴∠G=∠EAD=90°-∠ADE=90°-30°=60°．
在△ABG中，∵∠ABG=90°，∠G=60°，GB=

，
∴AB=GB•tan∠G=

=4，AG=2GB=

．
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

AB=2，AF=

BF=2

．
∵FP∥GC，
∴

，

，
∴AP=3

．
在△APD中，∵AP=3

，AD=AB=4，∠DAP=45°，
∴DP²=AP²+AD²-2AP•ADcos∠DAP=18+16-2×4×3

=10，
∴DP=

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，余弦定理，第三问有一定难度，（3）中求出AP的长度是解题的关键．

练习册系列答案

本土暑假云南美术出版社系列答案

暑假作业内蒙古人民出版社系列答案

暑假作业与生活陕西人民教育出版社系列答案

快乐暑假河北少年儿童出版社系列答案

新思维假期作业暑假吉林大学出版社系列答案

蓝天教育暑假优化学习系列答案

世超金典假期乐园暑假系列答案

开心假期暑假作业武汉出版社系列答案

鸿图图书暑假作业假期作业吉林大学出版社系列答案

假日时光暑假作业阳光出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>